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共轭梯度法

2021-04-07 20:08动植物百科 人已围观

简介[拼音]:gong e tidufa [外文]:conjugate gradient method 又称共轭斜量法,是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法,例如对线性代数方程组 A 尣= , (1) 式中 A 为 n 阶矩阵,尣和 为...

又称共轭斜量法,是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法,例如对线性代数方程组

A尣=ƒ, (1)

式中An阶矩阵,尣和ƒn维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解尣*和求二次泛函

(2)

的极小值问题是等价的。此处(尣,у)表示向量尣和у的内积。由此,给定了初始向量尣,按某一方向去求(2)取极小值的点尣,就得到下一个迭代值尣,再由尣出发,求尣等等,这样来逼近尣*。若取求极小值的方向为F在尣(k=1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法,然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢,共轭梯度法则是在 尣处的梯度方向r和这一步的修正方向p所构成的二维平面内,寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向,即求极小值的方向p(其第一步仍取负梯度方向)。计算公式为

再逐次计算

(k=1,2,…)。可以证明当ij时,

从而pp形成一共轭向量组;rr,…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话,至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中,一般都有舍入误差,所以rr,…并不真正互相正交,而尣,…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。

近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵 B并进行三角分解,得B=LLT。将方程组(1)化为

hу=b, (3)

此处ylT尣,bl-1ƒhl-1Al-T,而。再对(3)用共轭梯度法,计算公式为

(k=0,1,2,…)适当选取B,当B 很接近A时,h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快,由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N,可选取M 为这里的B,例如对称超松弛迭代(SSOR),强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法,它也可用于解代数特征值问题。

参考书目
  1. 冯康等编:《数值计算方法》,国防工业出版社,北京,1978。

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