相平面法

[拼音]：xiangpingmianfa

[外文]：phase plane method

用绘制在直角平面坐标上的表征变量及其变化速率间关系的轨迹来研究二阶自治系统的一种图解方法。这种方法可用来分析一大类非线性系统的运动。自治系统是指其运动方程中不显含时间变量 t的系统。二阶自治系统运动方程的一般形式为

式中黑点表示变量对时间t求导数。如果x表示位移，则凧和尦就是速度和加速度。在运用相平面法分析时,以x为横坐标、以y＝凧为纵坐标构成相平面,并将自治系统运动方程化成相应的相轨迹方程，它是如下形式的一阶微分方程：

通过解析的方法或近似计算方法来求解相轨迹方程，即可得到相轨迹方程解的表达式或数值解，它在相平面上的图形称为相轨迹。对于系统不同的初始条件，可画出不同的相轨迹,它们全体组成系统的相轨迹族（图1）。在相平面上，根据相轨迹族能明显地看出系统的各种全局性质。例如，运动类型，稳定性，极限环和奇点（系统的静平衡点）的位置，数目和类型等。因此，相平面图能相当全面地刻划二阶自治系统的运动特性。

如果能得到相轨迹方程解的显表达式，则二阶自治系统的相轨迹可精确绘出。否则，只能根据相轨迹的一些基本性质，采用近似方法来绘制相轨迹。在这类近似绘图法中最常用的有等倾线法、里耶纳德法等。相平面法在用于分析继电控制系统时尤为简单和方便。

对于相轨迹方程为

的一类特殊形式的二阶自治系统，其相平面图的研究已有完善的结果。若孤立奇点位于坐标原点（ad-bc≠0），则其相平面图可按奇点类型分成 6类：中心、稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、鞍点（图2）。对于更复杂的情况，已有的结果多数尚不完善。

常微分方程的定性理论是相平面法的理论基础。研究非线性系统的相平面图的拓扑结构，是微分方程几何理论的主要任务。相平面上闭合的相轨迹称为极限环,它在物理上对应于出现在系统中的等幅振荡。图3a表示稳定极限环，b表示不稳定极限环,c表示半稳定的极限环。研究极限环的存在性、大小和周期，以及产生和消除的方法在控制工程上具有重要意义。

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相平面法百科介绍

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