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谱论

2021-04-10 22:13动植物百科人已围观

简介[拼音]：Pulun [外文]：spectral theory 泛函分析中研究算子的谱的理论。算子的谱的概念是有限维矩阵的特征值概念的推广。力学、物理和工程技术中的大量问题在一定的条件下可以归结为...

[拼音]：Pulun

[外文]：spectral theory

泛函分析中研究算子的谱的理论。算子的谱的概念是有限维矩阵的特征值概念的推广。力学、物理和工程技术中的大量问题在一定的条件下可以归结为数学上代数方程、微分方程、积分方程或微分积分方程等的求解问题。在对这些方程求解问题的研究获得丰富成果的基础上，逐渐形成了一般的算子的谱的理论（这里主要指线性算子）。

数学上各类线性方程的求解问题可以概括为某个拓扑线性空间X上的方程(λI-T)x=y的求解，这里T是X上已知的线性算子，I为X的单位算子，λ是一个复参数。当X是有限维空间（例如维数为n）时，T可表示为一个n阶方阵，而上面的方程就是n阶线性方程组。在线性代数中，已经完全解决了它的求解问题，主要结果有:上述方程对一切y∈X有解当且仅当λ不是T的特征值，而且这时解有惟一的形式x=(λI-T)^-1y。对λ是T的特征值的情况，也给出 y应满足什么条件才能使上述方程有解和解的一般表达式。当X是无限维空间时，问题变得复杂多了。1900～1903年，（E.）I.弗雷德霍姆研究了具有连续核的积分方程，得到了与有限维空间情形相类似的结果。后来，F.（F.）里斯、J.P.绍德尔建立了巴拿赫全连续算子的弗雷德霍姆理论。1904～1906年D.希尔伯特考察了具有对称核(即)的积分方程，后来又有了一般的有界自共轭算子的谱理论。20年代J.冯·诺伊曼为适应量子力学的需要，发展了希尔伯特空间上（无界）自共轭算子的谱理论并得到了酉算子和正常算子的谱分解定理。由于各种非交换的关系研究需要，40年代以后对希尔伯特空间上各种非正常算子的研究也陆续开始，并取得了丰富的成果，已成为现代线性算子谱论的重要方面。另一方面，关于巴拿赫空间上算子的谱论，自从1913年F.里斯的研究以来，也取得了一系列的成果（见谱算子）。

预解集和谱

巴拿赫空间上线性算子谱点的概念是有限维矩阵特征值概念的推广。设T是巴拿赫空间，X到X的线性算子，定义域为D(T)，λ为复数。如果(λI-T)有定义在全空间X上的有界的逆算子，那么称λ是算子T的正则点。T的正则点全体称为T的预解集，记为ρ(T)。ρ(T)的余集C \ρ(T)称为T的谱集，简称为谱，记为σ(T)。因此 σ(T)是由那些使 (λI－T)没有定义在全空间上的有界的逆算子的复数λ全体组成。σ(T)中的复数称为T的谱点。T的谱点有以下几类：

（1）(λI-T)没有逆算子，这时X中必存在x≠0，使(λI-T)x=0，称这种λ为T的点谱(或特征值)，其全体记为σ_p(T)。

（2）(λI－T)没有有界的逆算子，这时必存在x_n∈X，‖x_n‖=1使‖(λI-T)x_n‖→0，称这种λ为T的近似点谱，其全体记为σα(T)。

（3）(λI-T)有有界逆算子，但不定义于全空间，称这种λ为T的剩余谱，其全体记为σ_r(T)。

（4）(λI-T)有稠定逆算子，而逆算子是无界的，称这种λ为T的连续谱，其全体记为σ₀(T)。

当T是巴拿赫空间X上稠定闭算子时，ρ(T)必是复平面上开集，从而σ(T)是闭集，(λI-T)^-1是定义在ρ(T)上的算子值解析函数，称为T的预解式，常记为R(λ ，T)。在点λ₀∈ρ(T)的附近R(λ，T)必有展开式

，

而且对λ，μ∈ρ(T)，成立预解式方程

。

谱半径

当 T是巴拿赫空间 X上有界线性算子时，σ(T) 必是一个有界非空闭集。称 r(T)=sup{|λ| |λ∈σ(T)} 为 T的谱半径，且有著名的谱半径公式：。如果r(T)=0，那么称T是广义幂零算子。幂零算子T(即存在自然数k，使T^k=0)必是广义幂零算子。对希尔伯特空间上正常算子N，有r(N)=‖N‖。

谱测度

设(，B)是一个可测空间，B是一个σ代数(见测度论)，E是定义在 B上取值为希尔伯特空间h上投影算子的映射；如果满足①E()=I，②可列可加性(若{M_n}是B中一列互不相交的集合，则成立，那么称E为(，B)上谱测度，(，B，E)为h上的谱测度空间。

设(，B，E)是h上一个谱测度空间，ƒ是(，B)上可测函数。如果存在h上算子F，使对一切x，y∈h成立(也记作，上式右边表示ƒ关于由定义的复测度的积分），就称F是ƒ关于E的谱积分，记为或。

谱测度的支集

设是n维欧几里得空间Rⁿ，B是Rⁿ上波莱尔集全体，(Rⁿ，B，E)是希尔伯特空间h上谱测度空间。如果有Rⁿ中开集G，使得E(G)=0，则必有按集的包含关系为最大的开集G₀，使得E(G₀)＝0。称闭集σ=Rⁿ-G₀为E的支集，记为 suppE，换言之，σ是满足E(s)＝I中（按包含关系为）最大的闭集，形象地说即谱测度E集中在闭集suppE上，并且 E不能集中在比suppE更小的闭集上，易知谱积分。

对于是拓扑空间，B是上波莱尔集或贝尔集全体，在适当假设下就能将谱测度支集的概念推广到(，B，E)的情况。

谱系

类似于单调增加右连续的（点）函数与勒贝格-斯蒂尔杰斯测度（集函数）的关系，对于谱测度（集的投影算子值函数）与“单调增加右连续的”（点）投影算子值函数也存在。下面以=R¹（实直线）为例:设(R¹，B， E)是希尔伯特空间h上的谱测度空间，规定E_λ=E((-∞，λ])，(λ∈(-∞，∞))，这时函数E_λ满足①单调性，当λ≥μ时，E_λ≥E_μ，②右连续性，当λ_n>λ，λ_n→λ时，强收敛于E_λ，③规范性，当λ→-∞时，E_λ强收敛于0；当λ→+∞时，E_λ强收敛于I。称满足①～③的E_λ为相应于E 的谱系。反之，任何满足①～③的函数E_λ必是惟一地相应于某个谱测度 E的谱系。对于有谱系的谱积分又常写作或。

谱分解定理

设h是复希尔伯特空间，N是h上正常算子。则必存在定义在复平面C(视为R²)所有波莱尔集上谱测度E，使得。如果σ(N)是N 的谱集，则E的支集就是σ(N)，即。

正常算子的谱分解定理实际上是 n维复线性空间上正常矩阵对角化理论在无限维复希尔伯特空间上的推广。它刻画了正常算子的结构，许多正常算子的重要性质可由它导出，例如①λ∈σ(N)的充要条件是对任何λ的邻域O，E(O)≠0；

（2）λ是N 的特征值的充要条件是单点集{λ}的谱测度E({λ})≠0；

（3）λ是N的正则点的充要条件是存在λ的邻域①，使得E(O)=0；当λ₀是N的正则点时，；

（4）h上有界线性算子 A和N可交换的充要条件是对任何M∈B，AE(M)=E(M)A等。

对于特殊的正常算子，例如对酉算子U，必存在[0，2π］上谱系（即是定义在［0，2π］上单调增加右连续，并且E₀＝0，E_2π＝I 的投影算子值函数），使得；而对自共轭算子A，必存在定义在R¹上谱系E_λ，使得。

算子演算

对希尔伯特空间h上正常算子N，有谱测度空间(σ(N)，B，E)，这时对σ(N)上定义的复值有界波莱尔可测函数ƒ，定义，那么映射ƒƒ(N)有如下性质：

（1）埃尔米特性　，这里；

（2）线性　；

（3）可乘性　(ƒg)(N)=ƒ(N)g(N)；

（4）。

此外，有谱映射定理：对希尔伯特空间h中的正常算子N，若ƒ为σ(N)上的连续函数，那么有σ(ƒ(N))=ƒ(σ(N))。

广义特征分解

若希尔伯特空间h上自共轭算子A满足σ_p(A)=σ(A)（即A的谱都是特征值）。那么必有特征展开式，式中{e_v}是h的完备就范正交系，并且e_v是相应于特征值λ_v的特征向量。特征展开式（离散和的形式）比谱分解式（连续和的形式）更为简便。在吸收了广义函数论方法的基础上，引出了一般自共轭算子的广义特征分解的概念。

设l²(Rⁿ)是 n维欧几里得空间Rⁿ上关于勒贝格测度平方可积函数全体所成的希尔伯特空间。A是 L²(Rⁿ)上的自共轭算子，定义域D(A)包含基本函数空间K(见广义函数)，而且是K到K中的连续线性算子。又设当φ∈D(A)时，必有，而且。A在K的共轭空间K┡上的共轭算子A┡定义为：(A┡ψ，φ)=(ψ，Aφ)。如果对实数λ，有F∈K┡，F≠0，使A┡F=λF，就称λ是A的广义特征值，F是相应的广义特征向量。当F∈D(A)时，广义特征值和广义特征向量就是通常的特征值和特征向量。

如果存在A的特征值系{λ_v}和相应的就范正交特征向量系{ƒ_v}以及存在实直线上波莱尔集系{B_n}， B_n中每点λ为A的广义特征值，相应的广义特征向量为ƒ_λ，使得对任何φ，ψ∈K，(ƒ_λ， φ)是 B_n上波莱尔可测函数，且。那么就称组成了A的完备就范正交广义特征向量系。这时有如下的广义特征展开：

，

。

作为例子：如果A是l²(R¹)中乘法算子：(Aƒ)(x)=xƒ(x)，显然A在l²(R¹)中没有特征向量。而广义函数族{δ(x-λ)|λ∈(-∞，∞)}却构成了A的完备就范正交广义特征向量系。对一般的希尔伯特空间中自共轭算子，也有类似的广义特征分解。

简言之，所谓广义特征展开，实质上就是原来在希尔伯特空间上不是特征值的那些谱点，在适当扩大了的空间（相当于广义函数空间）上变成了特征值，并找到相应的（广义）特征向量和展开式。

巴拿赫空间上有界线性算子的谱分解

对巴拿赫空间上线性算子，一般说来，还没有类似于正常算子的谱分解定理这样深刻的结果。作为希尔伯特空间上投影算子的推广，在巴拿赫空间有平行投影的概念。设X是巴拿赫空间，M和N是X的两个闭子空间，如果任何x∈X可以唯一地表示为x=y+z，其中y∈M，z∈N，就称X是M和N的直和，记为X=M+N。这时定义算子E：Ex=y，称算子E是X到M上(平行于N)的平行投影，简称为X上投影算子。E是X上投影算子当且仅当E是X上有界的幂等算子，即满足E²=E的有界线性算子。

邓福德－里斯分解定理

设T是巴拿赫空间X上的有界线性算子，若σ是σ(T)的子集，且σ和σ┡=σ(T)\σ都是闭集，那么有X的直和分解X=M+N，使M，N都是T的不变子空间，而且σ(T｜M)=σ，σ(T｜N)=σ┡。这时存在一个包含 σ在其内部而σ┡在其外部的简单的可求长的若尔当曲线C，，使X到M上平行于N的投影E正好是。