模态逻辑

[拼音]：motai luoji

[外文]：modal logic

逻辑的一个分支，它研究必然、可能及其相关概念的逻辑性质。模态逻辑所研究的命题“必然 A”和“可能 A”与通常命题演算中的命题不同。后者是真值函项，前者不是。因为，当A真时，“必然A”既可以是真也可以是假；当A假时，“可能A”既可以是真也可以是假。

模态三段论

早在古希腊，亚里士多德详细研究过模态三段论。他把命题分为 3种：

（1）实然命题的形式是，“a是b”；

（2）必然命题的形式是，“a必然是b”；

（3）偶然命题的形式是，“a偶然是b”。后两者属于模态命题。亚里士多德所说的“必然”，具有两种意义。在一种意义下，“a必然是b”表示“b”所指谓的性质，是“a”所指谓的事物的本质属性或本质属性的一部分。这是客观事物的必然性。由于在亚里士多德的理论中，本质与定义是相应的，因此也可以说，这是根据命题中语词的定义而得出的必然性。在另一种意义下，“a必然是b”表示 “a是b” 是由别的命题根据三段论推出的必然结论。这实质上是演绎推理的逻辑必然性。亚里士多德所说的“偶然”是一个含混的语词。在他的《工具论》中的有些地方，“a偶然是b”就是“a可能是b”。在这个意义上，“a必然是b”可推出“a偶然是b”。但在另外的地方，“a偶然是b”则是“a不必然是 b并且a不必然不是b”，或者是“a可能不是 b并且a可能是b”。在这一意义上，“a必然是b”就不能推出“a偶然是b”，而“a偶然是b”却可推出“a不必然是b”。

把“必然”和“偶然”这两个模态概念分别加到亚里士多德的4种实然命题A、E、I、O上去，就可得出8种模态命题。例如，“所有 a都必然是b”，“有些a偶然不是b”等。亚里士多德讨论了这8种模态命题的换质与换位，也讨论了这些命题之间的逻辑关系。他所提出的模态三段论，是至少有一前提是模态命题的三段论。他根据前提把模态三段论分为 8大类：

（1）两个前提都是必然命题；

（2）大前提是必然命题，小前提是实然命题；

（3）大前提是实然命题，小前提是必然命题；

（4）两个前提都是偶然命题；

（5）大前提是偶然命题，小前提是实然命题；

（6）大前提是实然命题，小前提是偶然命题；

（7）大前提是偶然命提，小前提是必然命题；

（8）大前提是必然命题，小前提是偶然命题。

亚里士多德的模态三段论实质上是一个公理系统。他像处理实然三段论（见三段论）一样，把模态三段论分为第1、第2和第3格，并把第1格的模态三段论看作完美的、不需要证明的，而且主要应用换位法和归谬法，就可以从第 1格的模态三段论推出其他的模态三段论。

亚里士多德的学生泰奥弗拉斯多也创造了一个不同的模态三段论系统。稍后，麦加拉 -斯多阿学派（见麦加拉－斯多阿学派逻辑）也对必然与可能这些模态概念进行了较深入的探讨。在公元 9～12世纪，阿拉伯逻辑学家吸取了古希腊有关模态逻辑的思想并有所发展。伊本·西那把模态概念和命题的时间结合起来，创造了一个新的模态三段论系统。12～15世纪的欧洲经院逻辑学家区别了命题模态与事物模态合的意义下的模态与分的意义下的模态。伪司各特还构造了一个在合的意义下的模态三段论系统和一个在分的意义下的模态三段论系统。奥康的威廉则构造了一个这样的模态三段论系统：其中一个前提是在合的意义下的模态命题，而另一个前提是在分的意义下的模态命题。此外，经院逻辑学家还研究了知道、怀疑、愿意等主观模态概念和应当、许可等道义概念的逻辑性质。

模态命题演算

模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。它是应用数理逻辑的方法研究模态命题逻辑的结果。最先开始这方面研究的是19世纪末的H.麦克考尔(1837～1907)。在他的影响下，美国哲学家、逻辑学家C.I.刘易斯于1914年构造了一个模态命题演算。他用～（不可能）作为基本符号，通过定义p叾q呏～(p-q)引入严格蕴涵。这里，“叾”是严格蕴涵符号，“呏”是定义符号，～ (p-q)解释为不可能（p真并且q假）。后来刘易斯又不断改进其模态系统，包括改进他所用的符号。1932年，他提出了 5个以“◇”（可能）为基本符号的模态命题演算S₁，S₂，S₃，S₄，S₅。

20世纪30年代以后，出现了许多模态命题演算。其中，模态命题演算 T是一个很简单并且直观性很强的系统。它是在一个完全的命题演算上再加上

（1）一个基本符号：L；

（2）一条形成规则：如果 A是合式公式，则LA是合式公式；

（3）两条公理：

Lp →p，

L(p →q) →(Lp →Lq)。

（4）一条推理规则：如果p是定理，则Lp是定理。

（5）一些定义：Mp =Dｆ塡L塡p，p崊q =DｆL(p→q)，p匔q = Dｆ(p崊q)∧(q崊p)

模态命题演算T有以下重要的定理： p →Mp；Lp →Mp；塡Lp凮M塡p；塡Mp凮L塡p；

(塡p崊p)凮Lp；Lp →(q崊p)；L塡p →(p崊q)。

该演算中的基本符号L可以解释为必然；引入符号M可以解释为可能。公理Lp→p可以解释为：如果必然p是真的，则p是真的；公理L(p →q)→(Lp →Lq)可以解释为：当必然（如果p，则q）是真的，并且必然p是真的，那么必然q是真的。必然性规则可以解释为：如果p是定理，则必然p是定理。

在模态命题演算T上再加公理Lp→LLp，就可以得到一个实质上是刘易斯的 S₄的模态命题演算。由于在S₄中能推出定理①Lp凮LLp和②Mp凮MMp。因此， 在S₄中，根据等值替换定理并应用①和②，就能分别把具有多个连接的相同模态词的公式，化归为只具有一个模态词的公式，即把 LL...Lp化归为Lp，把MM...Mp化归为Mp。

在模态命题演算 T上再加公理 塡Lp→L塡Lp，就得出一个实质上是刘易斯的S₅的模态命题演算。在 S₅中能推出：

（1）Ｌ₁p凮Ｌ₁Ｌ₁p，②Mp凮MMp， ③MＬ₁p凮Ｌ₁p，④Ｌ₁Mp凮Mp， ⑤Ｌ(p∨Ｌq)凮(Ｌp∨Ｌq)，⑥Ｌ(p∨Mq)凮Ｌp∨Mq， ⑦Ｌ(p0∧Lq)凮(Lp∧Ｌq)， ⑧Ｌ(p∧Mq)凮Ｌp∧Mq， ⑨M(p∨Ｌq)凮(Mp∨Mq)， ⑩M(p∨Mq)凮(Mp∨Mq)，M(p∧Ｌq)凮(Mp)∧Lq)，M(p∧Mq)凮(Mp∧Mq)。应用定理①～并根据等值替换定理，就可把一个多级的模态公式化归为一个一级的模态公式。例如，把ＬMＬp∧MＬ(MＬ...Mp →Ｌq)化归为Ｌp∧(Mp →Ｌq)。

模态谓词演算

1946年，R.C.巴肯和R.卡尔纳普各自独立地构造了一个模态谓词演算。巴肯的模态谓词演算，实质上是在刘易斯的模态命题演算S₂上再加个体词、谓词和量词，以及有关的形成规则，公理和推理规则的结果。在这个演算中，有下面这样一条公理：

M(ヨｘ)ｆｘ →(ヨｘ)Mｆｘ这一公式通常叫做巴肯公式。其解释是：如果可能有的个体有ｆ 性质，则有的个体可能有ｆ 性质。但在巴肯的演算中，(ヨｘ)Mｆｘ →M(ヨｘ)ｆｘ却不是定理。

模态逻辑模型

40年代末，卡尔纳普开始从语义方面研究模态逻辑。50年代末到60年代初，S.坎格尔、J.欣梯卡与S.A.克里普克等人发展了卡尔纳普的理论，提出了比较完整的模态逻辑的模型理论。克里普克所构造的模态命题演算的模型，是一个三元组〈W、R、V〉。其中W是许多可能世界的集合。一个可能世界，从直观上说，也就是一个由许多互不矛盾但不一定现实的事物情况所组成的总体；R是可能世界之间的二元关系；V是满足某些条件的赋值。而模态谓词演算的模型，则在W、R、V之外至少还要加上个体域 D。根据这样的模型就可定义模态常真式。

趋势和意义

60年代以来模态逻辑有很大发展，出现了许多新的系统，特别出现了许多非标准的模态逻辑系统，如认知逻辑、道义逻辑、时态逻辑等。模态逻辑由于研究和阐明了必然、可能、应当、知道等本体论和认识论概念的逻辑性质，因而具有深刻的哲学意义。

参考书目

1. C.I.Lewis & C.H.Langford， Symbolic Logic， N.Y.The Cantury Co.，1932.von Wright， An Essay In Modal Logic，Amsterdam，North-Holland，1951.
2. G.E.Hughts & M.J.Cresswell， An Introduction toModal Logic，London Methuen，1972.

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模态逻辑百科介绍

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