余弦定理证明(精选多篇)范文

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• 第一篇：余弦定理证明过程
• 第二篇：余弦定理证明
• 第三篇：余弦定理证明过程
• 第四篇：余弦定理的证明方法
• 第五篇：高考考余弦定理证明
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正文

第一篇：余弦定理证明过程

在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。

解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2



又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc

第二篇：余弦定理证明

余弦定理证明

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第三篇：余弦定理证明过程

余弦定理证明过程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述m(更多***文请关注：***)a表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第四篇：余弦定理的证明方法

余弦定理的证明方法

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因为cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第五篇：高考考余弦定理证明

从高考考余弦定理证明谈起【题1】 叙述并证明勾股定理（1979年全国卷，四题）. 【说明】 这道大题，在总分为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：（1）叙述勾股定理（2分）；（2）证明勾股定理（4分）.

【题2】 （1980·理科四题（满分8分））写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明

【插话】 对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理.

【题3】（2014年四川）

（文）（19）（本小题满分12分）

；

2由推导两角和的正弦公式

，求.（ⅰ）1证明两角和的余弦公式（ⅱ）已知

解：(1)①如图，在执教坐标系xoy内做单位圆o，并作出角α、β与－β，使角α的始边为ox，交⊙o于点p1，终边交⊙o于p2；角β的始边为op2，终边交⊙o于p3；角－β的始边为op1，终边交⊙o于p4.

则p1(1,0),p2(cosα,sinα)

p3(cos(α＋β),sin(α＋β)),p4(cos(－β),sin(－β))

由p1p3＝p2p4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα]

展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.?②由①易得cos(

sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] －α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 2222－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

∴sinα＝－

∵β∈(，π),tanβ＝－

∴cosβ＝－,sinβ＝

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝(－)×(－)－(－

)× ＝ （理）（19）（本小题满分12分）

（ⅰ）1证明两角和的余弦公式

2由推导两角和的正弦公式

，且，求cosc. ； . （ⅱ）已知△abc的面积

解：(1)①如图，在执教坐标系xoy内做单位圆o，并作出角α、β与－β，使角α的始边为ox，

交⊙o于点p1，终边交⊙o于p2；角β的始边为op2，终边交⊙o于p3；角－β的始边为op1，终边交⊙o于p4.

则p1(1,0),p2(cosα,sinα)p3(cos(α＋β),sin(α＋β)),p4(cos(－β),sin(－β))

由p1p3＝p2p4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2

展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.????????4分

②由①易得cos(

sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－α)＝sinα,sin(－(α＋β)]＝cos[(－α)＝cosα －α)＋(－β)] －α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分

(2)由题意，设△abc的角b、c的对边分别为b、c

则s＝bcsina＝

＝bccosa＝3＞0

∴a∈(0,

2 ),cosa＝3sina 2又sina＋cosa＝1，∴sina＝,cosa＝

由题意，cosb＝,得sinb

＝

∴cos(a＋b)＝cosacosb－sinasinb＝ 故cosc＝cos[π－(a＋b)]＝－cos(a＋b)＝－

【题4】（2014年陕西） ??????????12分

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