拓扑群

[拼音]：tuopuqun

[外文]：topological group

又名连续群，是具有拓扑空间结构的群。设G是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间G×G到拓扑空间G上的映射m∶(x，y)→x·y及从G到G上的映射ƒ:x→x^-1 都是连续映射，则称G为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的，则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如，n维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群GL(n，R)，再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群;而所有行列式为1的正交矩阵所成的群SO(n，R)是一个紧连通拓扑群。

从拓扑群G到拓扑群H内的映射ƒ:G→H，如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么ƒ称为从拓扑群G到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态ƒ是双射， 而且逆映射ƒ^-1也是连续的，那么ƒ称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。

在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

拓扑群的结构是比较均匀的，一点邻近的性质可以反映其他点邻近的性质。设G为群，为G的某些子集构成的集合。如果 适合下列五个条件：

（1），其中e为G的单位元素；

（2）对U、V∈，存在W ∈使W嶅U ∩V；

（3）对每个U ∈，存在V∈使VV^-1嶅U；

（4）对每个U∈及α∈U，存在V∈使Vα嶅U；

（5）对每个U∈及α∈G，存在V∈使α^-1Vα嶅U，那么在G中可以引进惟一的拓扑，以{Uα｜U∈，α∈G}，为拓扑空间的完全邻域组，使G成为拓扑群，亦即拓扑群G的拓扑结构完全决定于单位的完全邻域组，只要拓扑群中有一点是闭集，那么每一点都是闭集，从而是豪斯多夫空间，并且这样的拓扑群的拓扑空间是正则的。连通拓扑群作为抽象群都可以由它的单位的一个邻域来生成。

如果拓扑群G的子集H是群G的子群，那么H加上由G的拓扑继承下来的拓扑也构成拓扑群，就称H为拓扑群G的拓扑子群；如果H 又是G 的闭（开）子集，那么H 称为G 的闭(开)子群。开子群一定是闭子群。拓扑群G 的子群H 的闭包啛 也是拓扑子群。拓扑群G 的中心与换位子群都是G 的闭正规子群。给出拓扑群G 的子群H，就可以有左陪集的集合G/H ={αH丨α∈G}，有从G 到G/H上的自然映射π∶G→G/H，π(α)=αH，对α∈G，G/H上使π连续的最强拓扑，使G/H成拓扑空间，称为G关于子群H 的左陪集空间。同样有右陪集空间H\G。于是， G/H是豪斯多夫空间当且仅当H是闭子群。G/H是离散的，当且仅当H是开子群。如果H是拓扑群G 的正规子群，那么商群G/H再加上上述陪集空间拓扑，使G/H成拓扑群，称为拓扑群G按正规子群H所做得的商群。这时，从拓扑群G到拓扑群G/H的自然映射 π是拓扑群间的开同态（作为拓扑空间的映射把开集映到开集）。还有类似于群同态基本定理的同态定理：如果ƒ是从拓扑群G到拓扑群G₁上的开同态映射，N为ƒ的核，那么N是G的闭正规子群，而且由ƒ导出G/N到G₁上的映射是拓扑群间的同构映射。

在研究拓扑群的结构及讨论拓扑群上函数的性质时，一个非常重要的有力工具是，在局部紧拓扑群G上可以建立起不变测度与不变积分，即G 有一个适当广的可测子集类（博雷尔子集类），在这个类集上可以有一个测度μ，使得对G中的任一元素α，可测集M的测度μ(M)与集合Mα的测度μ(Mα)相等。这种测度称为局部紧群G上的哈尔测度。它是A.哈尔于1933年首先建立起来的理论。 可以证明， 除了一个常数因子外，局部紧群上的哈尔测度是惟一确定的。紧子集上的哈尔测度是有限的，因此， 在紧群G上哈尔测度总可以标准化为μ(G)=1。有了测度就可以在局部紧拓扑群上建立起不变积分的理论。1934年J.冯·诺伊曼用比A.哈尔简单得多的方法，在紧群上直接建立起不变积分的理论。早在1927年，F.彼得与（C.H.）H.外尔已经在讨论紧李群的线性表示时用到了不变积分。

拓扑群的表示理论也是研究拓扑群的一个重要方面。从拓扑群G到所有n阶非奇异方阵所成的拓扑群GL(n，C)中的同态，称为G的一个线性表示。与有限群的线性表示理论相似，紧拓扑群的线性表示也具有完全可约性、正交性、完备性。所谓完全可约性，是指紧拓扑群的任一线性表示都是不可约表示的直和。所谓正交性，是指紧群G 的任意两个维数各为m与n的不等价的不可约表示ρ 与σ，ρ:x→ρ(x)=(g_ij(x))，x∈G，i，j=1，2，…，m;σ:x→&sigma；

(x)＝(h_kl(x))，x∈G，k，l＝1，2，…， n，有关系式，当i≠s或j≠t时;式中积分是群G上的不变积分， 抧_ij(x)、(x)分别是g_ij(x)、(x)的共轭。

所谓完备性，是指如果Ω表示紧群G的所有不可约表示中所出现的连续函数g_ij(x)全体，那么G上任一连续函数都可用Ω中函数的线性组合来逼近。这就是著名的彼得－外尔定理。

在拓扑群中研究得最多的是局部欧氏群。当拓扑群G的某一点有邻域同胚于欧氏空间的开集，则G称为局部欧氏群。许多数学家在研究希尔伯特第 5问题即是否每一个局部欧氏群都是李群时作出了贡献。Л.C.庞特里亚金于1934年解决了交换群的情况，冯·诺伊曼解决了紧群的情况，D.蒙哥马利和L.齐平证明了任一局部连通的有限维的局部紧群是李群，从而肯定了D.希尔伯特的猜测。

拓扑群的理论是李群的基础。李群在数学的许多方面有广泛的联系，在物理学中有大量的应用。

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