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沃尔泰拉积分方程

2021-10-14 23:37动植物百科 人已围观

简介[拼音]:Wo ertaila jifen fangcheng [外文]:Volterra integral equation 形如 (1) 和 (2) 的积分方程,依次称为第一种沃尔泰拉积分方程和第二种沃尔泰拉积分方程。它与弗雷德霍姆积分方程的不同之...

形如

   (1)

   (2)

的积分方程,依次称为第一种沃尔泰拉积分方程和第二种沃尔泰拉积分方程。它与弗雷德霍姆积分方程的不同之处,仅在于它的积分上限是变量x,且αyxb,此处αb是常量。沃尔泰拉积分方程可视为弗雷德霍姆积分方程的核K(xy)当y>x时为零的情形。

第二种沃尔泰拉积分方程没有特征值,是区别于弗雷德霍姆积分方程的重要特点。 因此, 对一切复值λ,方程 (2)都存在解核,式中,此式,l是小于m的任何自然数。于是,对任意的自由项ƒ(x),方程(2)都有惟一解,它可表为

对第一种沃尔泰拉积分方程(1),假设K(xx)≠0,ƒ(α)=0,且Kx(xy)和ƒ″(x)都是连续的,则利用对(1)两边求导数的方法,可把它化为与之等价的第二种沃尔泰拉积分方程

最早被研究的一个带弱奇性核的沃尔泰拉积分方程,是阿贝尔方程,它是N.H.阿贝尔于1823年在求一个质点的落体运动轨迹与时间的关系中得到的,其中g是重力加速度,ƒ(x)是已知函数,φ(x)是未知函数。阿贝尔方程的一般形式为

   (3)

式中0<α<1。若GGxƒ┡都是连续的,且G(xx)≠0,则在方程(3)的两边各乘以(u-x)α-1,再对x从0到u取积分,可得

式中。由于·,随之得

   (4)

式中方程(4)是第二种沃尔泰拉积分方程。因此,一般形式的阿贝尔方程可归结为与之等价的沃尔泰拉积分方程。

在方程(3)中当G(xy)呏1时,则由(4)和(5)可得阿贝尔方程的求解公式

类似地,推广的阿贝尔方程 ,0<α<1,它的解为


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