【圆球面积】圆球面积计算

 

要想准确地计算出球的体积，能不能把球形的整体看着似正方体，由正方形体积公式来代替球的体积公式，开初是一个设想，根据研究分析，再研究分析是可行的。

下面将球形转化为正方形有8点理由。

1、借圆面积公式：因圆面积公式是将圆拼割成正方形后计算圆面积的一个公式，按这种方式，同样可以把球拼割成正方形。

2、在一个圆内，经过圆心，也等于球的中心点画X条直线线段，这X条直线线段都是这个圆的直径，并且长、短都相等。从圆心到圆的线段都是这个圆内的半径，长、短也都相等。

如图1-4

3、一个正方形有六个面，这六个面不仅面积相等。而且各条边长也都相等。

4、给圆面积公式加上“平方根号”就知道这个圆面积的边长了，也就知道这个球转化为正方形的边长了。

5、假若这个球是软体物资做成的，改变其形后，它的体积和表面积是不会增加和减少的。

6、圆无论大小，它的周角都是360度。在一个平面的正方形无论大小，它的四个内角之和也是360度。

7、圆的直径大小与球的直径大小如果相等，那么圆的直径和半径与球的直径和半径都是相等的。

8、如果在一个环上打两个孔，这孔与这环的中心点成一直线，假若这直线是用钢条代替，并将这环与钢条直立于一平面上并且钢条固定，使环能围绕钢条转动，在转动时看上去就形成一个球形影子。

给圆面积加上“平方根号”求得边长的意义：

它是求得圆面积的边长的钥匙，是计算球形体积的必经之路，它的算法如下：

设球的直径为1米：

例：

所以圆面积的边长=圆面积的平方根

它的比是直径：0.886227961（边长）

因为求正方形的体积公式是边长×边长×边长

所以建立计算球的体积公式如下；

即：

是否准确，下面就进行检验和鉴定

上面这个计算球形体积公式是由圆面积公式加上“平方根号”过渡到正方形面积公式，由正方形面积公式，再过渡到正方形体积公式，是把球形转化为正方形的一种计算方法，因此就建立了计算球形体积公式。

设球的直径为1米。

用书上计算球体积公式计算同一直径的球的体积是：

1.3333×3.1416×0.5×0.5×0.5=0.52358691（立方米）

用新公式计算的得数减去书上计算球体积公式的得数计算的得数是：

0.696043439-0.52358691=0.172546529

0.172456529÷0.696043439=0.247766905

0.247766905×100=24.7766905%（立方米）

直径1米的球，它的体积是0.696043439m3，书上旧公式算出来的直径1米的球的体积则是0.52358691立方米。而

因为0.806×0.128+0.806=0.909168

所以0.52358691立方米的直径等于0.909168米。与1米直径少了0.101米，如果

用旧公式算则不得0.52358691立方米，需用新公式计算才行（因旧公式越算会越少）。

如：

旧公式则是1.3333×3.1416×0.4545×0.4545×0.4545

=0.393260593（立方米）与原来体积不合

每演算一次就会少24.7766905%

而新公式：

已知直径1米圆面积的边长是0.88622796米。

是折率（百分比）

知边长求直径（把正方形变成球形）是

1米-0.886227961=0.113772039

0.113772039米÷

0.886227961米=0.128377848（还原率）（百分比）

已知边长求直径叫还原（指圆面积）

注：这里为了证实球形转化为正方形，由正方形转化为球形的准确与否的演算方法，特设的这种方法，圆的直径等边长×折率+边长（正方体变球体直径）。圆的边长=直径×折率（求圆的边长）

比如：已知正方形的边长和体积，用这体积做一球，那么，这球的直径应是多少？

设这正方形的体积是1立方分米，已知边长是10厘米，如不知边长，因知道体积，就给这体积数量加上“立方根号”如1立方分米=1000立方厘米

则是

或把正方形的边长扩大0.128377848倍，就等于把正方形的边长换算成球形（圆）的直径了。

就等把正方形体转化为球形体了。

并且准确度高，误差极小。

这直径是

10×0.128377848+10

=1.28327848+10

=11.28377848厘米

用新公式计算：

0.00100525351×1000≈1立方分米差

用书上公式计算：1.3333×0.564×0.564×0.564×3.1416=0.751477668

0.998995756立方分米-0.751477668立方分米=0.247518088立方分米

0.247518088立方分米÷0.998995756立方分米=0.247766906立方分米

0.247766906立方分米×100=24.7766906%立方分米差4.7766906%

鉴定

将直圆柱形的茶杯，盛半杯水，在水位处记上号，将一乒乓球压入杯内水中，在水位处记上号，取出乒乓球，量得茶杯内水的落差为1.8厘米，乒乓球的直径为3.7厘米，杯内的直径为5厘米，水的落差就等于乒乓球的体积。

用直圆柱的体积公式算出水的落差体积是：

3.1416×0.25×0.25×1.8=35.343（立方米）

用新公式计算乒乓球的体积是：

=35.2566842（立方厘米）

用书上旧公式计算是：

1.3333×3.1416×1.85×1.85×1.85=26.52124775（立方厘米）

旧公式比新公式差是：

35.25668842立方厘米-26.52124775立方厘米=8.73544067立方厘米

8.73544067÷35.25668842=0.24766907

0.247766907×100=24.7766907%，差百分比是24.7766907%

空心球的计算

例：某造球厂用1立方分米铜，做一球直径为3分米的球，铜的密度为每立方厘米6 g，质量为6K，计算球的空心体积和球的厚度：

答：此球的空心体积是17.79317291（立方分米）；厚度平均是约0.28厘米

例2:

有一颗空心钢球,它的直径是2分米,重9.1公斤，钢的蜜度为7g，计算钢球的厚

度与空心体积各是多少？

计算：

9.1公斤÷0.007=1.3（立方分米）钢的体积

5.568347526立方米-1.3立方分米=4.268347526立方分米（空间体积）

空心直径

2分米-1.83≈0.17分米0.17分米÷2=0.085分米

钢的平均厚度约为8.5毫米

答：此球的空心体积约4.268立方分米，钢厚度平均约8.5毫米

地球的体积

摘自《义务教育课程标准实验教科书地理》七年级上册。

已知地球的半径是约为6371千米，表面积为5.1亿平方千米。没有讲地球的体积，不知其因。

地球的体积是：

地球的体积约14400亿立方千米。

地球面积公式的应用

+

通过推出球的体积公式的计算和鉴定，从此理论上得到一个计算球形表面积的计算公式。

因为一个正方形有六个相等的面，不但面积相等，而且边长也相等，所以求球形表面积的公式应是6

。为什么不是4

，因为一个球的表面积不是4个

能代表整个球的表面。

用新公式计算：设球的直径为1米

6×3.1416×0.5×0.5=4.7124（平方米）

用书上公式计算：

4×3.1416×0.5×0.5=3.1416（平方米）

4.7124平方米-3.1416平方米=1.5708平方米

1.5708÷4.7124=0.3N个3

0.3N3×100=33.3N个3%

旧公式比新公式差33.3N个3%

原因分析如下：

1米直径的球，它的周长就等于

3.1416米，周长的宽度不止

1米吧，这个直径

1米的球的表面积并不等于

1米宽×

3.1416米长的长方形面积，就可围成直径

1米的球。所以，4

并不是计算球表面积的公式。

所以：地球的表面积是：

6×3.1416×6371×6371=765098497（平方千米）约7.7亿平方千米

新旧公式的优、缺点的评论

旧公式的理论摘自《全日制普通高级中学教科书（必修）数学第三册》（下B）

人民教育出版社中学数学室编著

人民教育出版社出版

四川出版集团公司重印

2008年10月成都第三次印刷

第九章10节

2小节 球的体积

把垂直于底面的半径作n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面，把半球分割n层，每一层近似于一个“薄圆片”，这些薄圆片的体积之和就是半球的体积。由于薄圆片近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱体积。

为了推出上面的球的体积公式，我们使用于“分割”求近似和，再由近似和转化为准确和的方法，即把半球分割成N部分，再求出每一部分的近似体积，将这些近似体积相加，推出半球的准确体积，因此，就得到了定理：

根据上述论语和方法，书上这个求球形体积公式是采用把球分割成N部分，求M层薄圆片的体积的近似和转化为准确和的方法，求得球的体积公式。

它的错误不该把球分割成N层薄圆片，因分割的薄圆片越多，误差就越大

。

它只能求得近似值，例：单独一层薄圆片，它不是直圆柱形，如图5-6，有一周的误差，单独一层，误差较小，有N层，就有N个误差，把N个误差加起来之和，误差就大了。

无论怎样分割一个球，总有两层奇形片，（如图5-6）

上下两片奇形片怎么样计算准确，所以这个公式误差大。它像一粒老鼠粪，沾污了一大锅饭，在国际上，损害了中国在国际上的威信，在国内会被后来人耻笑。

新公式为什么准确度高，误差小，理由是：

用前人的经验，即四个公式和一个“平方根号”的作用和意义，总结推论出计算球形的体积和表面积公式，未加自然数字。由圆面积公式的边长逐步过渡到计算球的体积公式，由前面图1-4的表示，通过鉴定、检验、实践，相应地把球形转化为正方形，由正方形体积公式转化为球的体积公式，也可以以正方形体积演变成球形，从数字上反映出来的结果也是正确的，数字是反映某事的好与坏、多与少的重要依据。

总之，有以下四点优点：

1、利用前人总结的经验，即四个公式和一个“平方根号”就推定了球的计算体积公式。

2、计算得知，数字反映真实。

3、通过鉴定，准确度最高，误差最小。

4、简单明了，一看就懂，一学就会，适用。

新公式算的数字的集中反映

设球的直径为1米时新公式的休积是：0.696043439（立方米）

旧公式算时是0.52358691（立方米）

旧公式差占百分比是24.7766907%

鉴定结果的比较

水的落差体积35.343（立方厘米）

用新的公式算乒乓球的体积是：35.25668842（立方厘米）

用旧公式算乒乓球的体积是：26.52124775（立方厘米）

旧公式比新公式差百分比是24.7766907%

新公式算球的直径与圆面积的边长误差是十亿分之1，即0.999999999。

旧公式算球的直径与圆面积的边长关系的误差是：设圆的直径为1米时，圆面积的边长关系的误差的准确度是90.9168%，误差是0.090832约10%

百分比差占约10%

旧公式算球的表面积误差是33.……3%

将1立方分米的正方形，转化为球形后，用新公式算球的体积与1立方分米差1‰。

旧公式仍差24.7766907%

一球形的表面积并不等于4

。

总之，圆面积公式能把圆拼割成正方形，也能完整地将球形多割少补转化为正方形。如图1-4等。

3个边长相乘等体积，2个边长相乘等面积。新的球形体积公式之精、准独一无二。